YUNHAIT앙,1QuanyingWU,1,* XIaoyiC암탉2 그리고HAOZ걸다1,2
1Micro and Nano 열 유체 흐름 기술 및 에너지 응용 프로그램의 Jiangsu 주요 실험실, 수주 과학 기술 대학교 수학 및 물리학 대학, Suzhou, Jiangsu, 215009, China
2Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, China의 대학원 실습 스테이션
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
추상적인: 우리는 Laplace 방정식의 분석 솔루션을 사용하는 것과 비교할 때 더 많은 개인적인 요구를 수용 할 수있는 점진적인 첨가제 렌즈 (PAL)의 설계를위한 수치 방법을 제안합니다. 우리의 방법에서는 보조 기능입니다u(x, yPAL의)는 경계 및 링크 조건을 갖는 Laplace 방정식의 수치 솔루션에 의해 얻어진다. 경계 조건은 개별 요구 사항의 입력과 함께 유전자 알고리즘을 사용하여 얻습니다. 링크 조건은 유한 차이 방법을 사용하여 결정됩니다.u(x, y) 자오선에서. 야외에서 두 가지 예가 제공됩니다
사무실 사용. 두 경우 모두, 난시 영역은 렌즈 가장자리 근처의 작은 영역을 향해 밀려납니다.
© 2017 광학 사회 의 미국
OCIS 코드 :(220.0220) 광학 설계 및 제조; (080.0080) 기하학적 광학.
참조 및 링크
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1. 소개
진행성 첨가제 렌즈 (PAL)는 다양한 시야 거리에서 완벽한 시력을 제공합니다. 친구를 설계하는 두 가지 주요 범주의 방법이 있습니다. 하나는 직접 방법에 속합니다. 예를 들어, Winthrop동부 표준시 AL. [1]은 설계자들이 제대 자오선을 따라 초점을 지정하는 시스템을 설명했다. 렌즈의 나머지 모양과 진행성 표면의 곡률은 보조 기능에 의해 결정됩니다.u(x, y). 보조 기능의 윤곽x-y 평면을 레벨 곡선이라고합니다. 그만큼
보조 기능은 라플라스 방정식을 분석적으로 해결함으로써 얻어졌다. 스틸동부 표준시 AL. [2]는 원뿔형 (보조 함수)을 사용하여 전체 표면에 초점을 지정하고 타원 부분 미분 방정식을 해결함으로써 PAL의 표면 모양을 얻었다. 다른 방법은 PAL 표면을 간접적으로 결정하는 것입니다. 예를 들어, 루스트동부 표준시 AL. [3], 왕
[4], WEI [5]는 원하는 초점의 분포와 원치 않는 난폭성 사이의 균형에 도달하려는 평가 기능을 고안했다. PAL 표면은 평가 함수를 수치 적으로 최소화함으로써 얻어졌다. 직접 방법에서 자오선 초점 파워와 레벨 곡선의 설계는 두 가지 핵심 사항입니다. 최근 자오선에서 최적화 된 초점 전력 분포를 검색하는 기술이 설명되었습니다 [6,7]. Winthrop동부 표준시 AL. 그리고 스틸동부 표준시 AL. 레벨 곡선에 대한 분석 표현을 제시했다 [1,2]. 이 모든 방법에는 레벨 곡선을 조정하기위한 두세 가지 매개 변수 만 있습니다. 따라서 비전 보정에 대한 개인적인 요구를 충족시키는 능력은 제한적입니다.
위에서 언급 한 방법과 비교하여 더 많은 개인적인 요구를 수용 할 수있는 방법을 제안합니다. 우리의 접근 방식에서, 레벨 곡선은 개별 상황에 의존하는 경계 및 링크 조건으로 Laplace 방정식을 수치 적으로 해결함으로써 얻어진다. Laplace 방정식의 경계 조건과 비점간에 복잡한 관계가 있습니다. 경계 조건은 개인화 된 요구 사항의 입력과 함께 유전자 알고리즘을 사용하여 얻습니다. 자오선의 비점을 최소화하기 위해 변형 원칙과 유한 차이 방법을 사용하여 더 부드러운 링크 조건을 제안합니다. 이 방법은 개별화 된 렌즈를 결정하기위한 유연성과 효율성을 제공합니다.
2. 진행성 첨가물 렌즈의 레벨 곡선 디자인
PAL 표면은 4 개의 영역으로 나뉩니다 (그림 1). 렌즈의 상단 부분의 거리 면적 1은 비교적 초점이 낮습니다. 가까운 영역 2는 거리 면적 아래의 10-18 mm이며 비교적 높은 초점을 가지고 있습니다. 프로그레시브 복도 3은 거리와 근처의 영역을 연결합니다. 난시 영역 4는 비교적 심각한 난시가있는 점진적 복도의 왼쪽과 오른쪽에 있습니다. 거리 면적의 기준점 A와 가까운 영역의 기준점 B 사이의 초점 차이는 PAL의 추가 전력 (ADD)으로 간주됩니다. 거리 면적, 지역 근처 및 점진적 복도를 효과적인 시력 영역이라고합니다. 난시 영역은 착용자의 비전을 교정하는 데 사용될 수 없습니다.
그림 1. 친구의 4 개 영역.
원점 O는 렌즈의 중심이며x-y 평면은 렌즈에 접하는 것입니다. x 축은 초점을 증가시키는 방향으로 아래쪽을 가리 킵니다. 그만큼z-축은 독자를 향한 종이를 가리킨다. 자오선은 지점 A와 B를 연결합니다. 지점 A와 B 사이의 거리는 점진적인 복도의 길이입니다.
직접 설계 방법은 여러 단계로 나뉩니다. 첫 번째 단계는 자오선 초점 파워 (자오선을 따라)와 보조 기능을 설계하는 것입니다.u(x, y). 두 번째
단계는 PAL 표면의 각 지점에서 곡률과 곡률의 중심을 결정하는 것입니다. 마지막 단계는 벡터 높이를 얻는 것입니다z(x, y) .
초점 전원 분포는 렌즈 표면에 매끄러 져야하므로 보조 기능u(x, y) 부드럽게 배포해야합니다. 부드러움을위한 기준은 부분 파생 상품의 2 차 합이 필요합니다. ¶u / ¶x 그리고 ¶u / ¶y 최소값, 즉
Dirichlet Integral은 최소입니다. euler-lagrange 변형 원리에 따르면 보조 기능u(x, y) 라플라스 방정식을 만족시킵니다
우리는 Eq.를 해결할 것을 제안합니다. (1) 수치 기술 사용. Laplace 방정식의 경계 조건은 유한 차이 방법을 사용하여 링크 조건을 얻는 반면 유전자 알고리즘을 사용하여 최적화됩니다.
2.1 라플라스 방정식의 경계 조건
제어점uk 계산 영역 ω의 경계에서 그리드 포인트 중 하나를 나타내며 다음과 같이 정의됩니다.
여기h 진보적 인 복도의 길이와 관련이 있으며L 지점 A에서 원래 지점 O까지의 거리는pk 유전자 알고리즘의 제어 매개 변수는 0에서 1까지 다양합니다.K 유전자 알고리즘에서 '염색체'의 수입니다. 모든 '염색체'의 순서h - L .
pk 벡터를 '개인'으로 구성합니다. 의 가치uk 다릅니다.L 에게
객관적인 기능f 유전자 알고리즘 중 벡터의 장점을 충족시킨다 [7]
여기서 F1은 PAL의 최대 비 점수입니다. 최대 난시가 요구 사항 F* =을 충족해야합니다.r P - P , 어디P 그리고P 지점 A와 B, 1의 초점 파워입니다A B A B 그리고r 추가 전력의 가중치입니다. 에프i ( i = 2, 3l6)는 거리 면적, 면적 근처 및 진보적 인 복도의 평균값입니다.각각 난시 영역. 에프i ( i = 7, 8, 9)는 각각 면적 근처의 평균 전력 값, 면적 근처 및 점진적 복도입니다. F*는 해당 목표 값입니다. 에프i 최적화 된 경계 검색을위한 유전자 알고리즘 루프의 변화정황.a1 ,...,a6 난시의 상응하는 영역의 가중치 요소입니다.a7 ,a8 및a9는 초점 전력 차이의 해당 영역의 가중치 요소입니다.r ( 0.75 £ r £ 1) 및ai ( 0.1 £ ai £ 2)는 상대적 가치이며 착용자의 선호도에 의해 결정됩니다. 실외 활동의 경우 넓은 거리 면적이 필요하므로 가중치가 필요합니다.a2는보다 커야합니다a3. 사무실 활동, 더 작은 거리 면적 및 더 큰가까운 면적이 필요하므로 가중치가 있습니다a3은보다 커야합니다a2. 어쨌든, 우리는 가능한 한 적은 비점을 원하지만 투명한 거리 및 지역 근처의 차원과 같은 다른 요구에 의해 노력이 제한됩니다. 실제로, 그것은 거리 면적, 가까운 면적 및 비점 간의 상충 관계입니다.
2.2 라플라스 방정식의 링크 조건
이전 아트 [1]에서 보조 기능u(x, y) 지점 A와 B 사이의 자오선에서
친구의 비점을 줄이기 위해 우리는 초점을 안정적으로 유지하려고 노력합니다.
자오선의 지점 A와 포인트 B를 넘어서. 기능u(x, 0)는 더 많이 변경해야합니다
부드럽게. 지점 A와 B에서u(x, 0)는 동일합니다x, 경사면은 0과 같아야합니다.u(x, 0)는 더 높은 차수를 가져야합니다N 최초의 비 침지 차동 유도체 중. 지점 A와 B 사이의 자오선에서, 차등 미분의 절대 값은 다음과 같습니다.
주문이 낮을 때 최소N 또는 동일합니다N .
우리는 1에서 n까지의 순서로 파생 상품의 제곱 요약을 최소화합니다.
의 분석 표현u(x, 최소 Eq. 0). (5) Euler-Poisson 방정식을 만족시킨다 [8]
식에서 (7) 및 식. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N )에서. (10) 획득된다. 보조 기능u(x자오선에서 0)가 얻어집니다.
더 나아가,ui, j 폭이있는 자오선의 양면에서d 유한 차이 체계에 의해 결정됩니다 [9]. 우리는 사각형 그리드를 사용합니다 (xi , y j ) 수치 적으로 계산합니다ui, j .
주어진ui, j = u(xi , y j ), 중앙 유한 차이 공식은 2 차 파생물에 사용됩니다.
여기 äy 단계 크기입니다. 대칭 축을 가정합니다u(x, y)와 같습니다ui, j -1. 재 배열 식 Eq. (11), 우리는 자오선을 얻고,ui, j +1
(12) Laplace 방정식을 기준으로 최적화 계수를 추가합니다.au , 우리는 얻습니다u = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j 그런 다음 값ui, j ± n n = 1, 2, 3 ...은 차례로 유사합니다. 의 값u(x, y) 점진적 복도의 왼쪽과 오른쪽 경계 사이가 얻어진다. 프로그레시브 복도의 너비 및 최적화 요소au 다른 개인의 필요에 따라 변경하십시오.
라플라스 방정식의 수치 솔루션위에서 얻은 경계 및 링크 조건을 갖는 Laplace 방정식은 AS로 작성 될 수 있습니다.y2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
여기서 도메인 ω는 PAL에 접하는 제곱 영역입니다.Bg 경계,DL 링크 조건 영역, 조건
f(xG , yg) 최적화 된 경계 조건 및j(xL , yL )
링크 라플라스 방정식은 유한 차이 체계에 의해 차이 방정식 세트로 변경됩니다.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) 여기g = Äx = Äy 제곱 ω의 단계와 측면 길이는Mg~와 함께m 정수.
선형 EQ. (15)는 연속적인 표지 균형 (SOR) 접근법 [10]에 의해 해결된다. SOR 기술은 용액에 수렴하기 위해 메쉬 위에 반복적 인 일련의 스윕을 사용합니다. 수렴 속도는 오버 이완 계수 (ORF)의 값에 따라 달라지며, ORF의 선호되는 값은 실험적으로 결정된다. SOR 기술의 중요한 장점은 메쉬 포인트 수의 제곱근에 비례하여 시간에 수렴에 도달한다는 것입니다. 이 기능은 계산 시간에 적당한 비용으로 SOR이 솔루션으로 수렴하기에 충분한 메쉬 밀도가 구현 될 수 있음을 의미합니다.
3. 예방과 토론
우리는 제안 된 방법을 두 가지 예에 적용하여 해당 경계 및 링크 조건에 의해 PAL의 초점 전력과 비율의 특정 분포가 어떻게 달성되는지 보여줍니다. 첫 번째 예에서, 착용자는 야외 활동을 위해 PAL을 사용합니다. 따라서 넓은 거리 면적이 필요합니다. 처방전에 따르면, PAL은 거리 면적에 00 Diopter 초점 및 + 2. 00 다이퍼 첨가력을 가지고 있습니다. 렌즈 재료의 굴절률은 1.523입니다. PAL의 전면 표면은 + 2. 뒷면은 거리 면적의 -4. 의 값h 그리고L 각각 34와 17입니다.
제안 된 방법의 성능을 이전 분석 방법과 비교하기 위해, 상상적인 표면은 Winthrop 방법에 의해 계산된다. Laplace 방정식의 솔루션은 매개 변수를 가진 분석 표현입니다.h , L , x 그리고y . 레벨 곡선은입니다
그림 2에 나와 있습니다.
그림 2. Laplace 방정식을 분석적으로 해결하여 얻은 레벨 곡선.
벡터 높이z(x, y)는 일련의 방정식에 의해 얻어진다. 초등학교를 기반으로합니다
진보적 인 표면의 차동 기하학, 초점 및 비율은 계산된다. 그것들의 윤곽은 그림 3에 나와 있습니다. 진행성 복도의 길이는 약 16mm입니다. 명확한 시력 영역의 폭 (비 점수<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 MM은 약 26mm이며 실외 시력에는 충분히 넓지 않습니다.
그림 3. Winthrop 방법에 의한 점진적 표면의 초점 (A) 및 난시 (B).
더 넓은 거리 면적을 얻으려면 가중치가 있습니다ai 라플라스 방정식의 경계 조건을 결정하기위한 목적 함수의 표 1에 도시 된 바와 같이 선택된다. 유전자 알고리즘으로 얻은 경계 조건은도 4 및도 5에 도시되어있다.
그림 4. 왼쪽과 오른쪽의 경계 조건.
그림 5. 거리와 구역 근처의 경계 조건.
경계 및 링크 조건으로 Laplace 방정식을 수치 적으로 해결함으로써 최적화u(x, y) 획득됩니다. 최적화 된 윤곽
u(x, y)는도 6에 도시되어있다.
그림 2와 비교하면, 영역은u(x, y) -14보다 작습니다.
그림 6. 최적화 된 윤곽선u(x, y) 첫 번째 예에서.
한 번u(x, y) 획득,z(x, y) 위의 설계 단계를 사용하여 파생 될 수 있습니다. 초점 및 비점의 윤곽은 그림 7에 나와 있습니다. 진행성 표면의 광학 성능은 표 3에 나와 있습니다. 거리 면적 (초점 전력<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 MM은 약 46mm이며 실외 시력에 더 적합합니다.
그림 7. 첫 번째 예에서 점진적 표면의 초점 (A) 및 난시 (b).
첫 번째 예제의 PAL은 CNC 조각과 연마기로 제조되었습니다. 광학적 특성은 PAL의 초점 및 비점 (또는 실린더)을 제공하기 위해 Rotlex가없는 형태 검증기 (FFV)로 측정됩니다. 시험 된 초점 및 비점의 윤곽은도 8에 도시되어있다. PAL의 광학 성능은 표 3에 도시되어있다. 0. 최대 난시의 편차는 0.02 다이오 터 미만입니다. 전면 표면의 곡률의 영향으로 인해 거리 구역에서 폭이 12mm 및 2mm 감소합니다 (시상증<0.5 diopter, x = -10 mm) 및 가까운 영역 (시상증<0.5 diopter, x = 18 mm)는 점진적 표면의 것보다 제조 된 PAL.
그림 8. FFV에 의해 테스트 된 PAL의 초점 (A) 및 난시 (B).
두 번째 예에서 기본 매개 변수는 첫 번째 매개 변수와 동일합니다. 친구는 사무실에서 사용됩니다. 따라서 더 큰 지역과 더 넓은 복도가 필요합니다. 너비d 첫 번째 예제에서와 같이 6mm 대신 9mm로 설정됩니다. 가까운 시력의 필요성에 기초한 가중치 인자는 표 2에 나와있다. 유전자 알고리즘으로 얻은 경계 조건은 그림 9 및도 10에 도시되어있다. 최적화 된 윤곽의 윤곽.u(x, y)는도 11에 도시되어있다.
그림 9. 왼쪽과 오른쪽의 경계 조건.
그림 10. 거리 및 지대 근처의 경계 조건.
그림 11. 최적화 된 윤곽선u(x, y) 두 번째 예에서.
그림 12는 두 번째 예제의 초점 파워의 윤곽과 비율을 보여줍니다. 표 3은 첫 번째 예제와 두 번째 예제 간의 광학 성능 비교입니다. 첫 번째 예제의 거리 면적의 너비는 두 번째 예제보다 24mm 더 넓습니다.x = -10 mm. 두 번째 예제의 가까운 면적의 너비는 첫 번째 예제보다 8mm 더 넓습니다.x = 18 mm. 두 번째 예제의 최대 난시는 첫 번째 예의 최대 비율보다 작으며 복도의 너비는 더 넓습니다.
그림 12. 두 번째 예에서 진행성 표면의 초점 (A) 및 난시 (B).
표 1 및 표 2는 착용자의 다른 요구에 기초한 가중치 인자이다. 의 매개 변수r 그리고ai 객관적인 기능은 착용자의 요구와 선호에 따라 결정됩니다. 난시 가중치a2는 실외 활동을 위해 더 큰 값으로 선택됩니다. 가중치 계수의 더 큰 값a3 , a4 , a5 및a6은 사무실 사용을 위해 선택됩니다.
4. 결합
이 연구에서, 우리는 보조 기능을보다 제어 할 수있는 새로운 설계 접근법을 개발하여보다 개별화 된 비전 보정을 충족시켰다. 목표를 달성하기 위해 Laplace 방정식을 수치 적으로 해결합니다. 경계 및 링크 조건은 특정 요구 사항을 충족하도록 설정됩니다. 결과적으로, PAL 디자인에서 거리와 지역의 치수와 초점의 힘에 대한 특정 요구가 더 큰 정도로 충족 될 수 있습니다. 비점 영역의 크기와 분포도 우리의 접근 방식으로 향상됩니다. 예는 우리의 접근 능력을 보여줍니다.
자금
중국 국립 자연 과학 재단 (NSFC) (61378056); Jiangsu Province (중국) 고등 교육 기관의 자연 과학 재단 (17KJA140001); Jiangsu 지방의 PAPD 프로그램; Jiangsu 13 년 계획의 주요 분야 (20168765); 저 차원의 광전자 재료 및 장치를위한 Suzhou 키 연구소 (SYG201611); Suzhou 주요 산업 기술 혁신 계획 (SYG201646); USTS 혁신 센터.
감사의 말
저자는 또한 Soochow University의 Qian Lin 교수에게 귀중한 조언을주고 미국 오거스타 대학교의 Cao Zongjian 박사에게 편집 제안을 위해 감사합니다.